9405. Три шара попарно касаются внешним образом. Найдите их радиусы, если плоскость касается этих шаров в вершинах треугольника со сторонами 10, 12 и 14.
Ответ. \frac{30}{7}
, \frac{35}{6}
, \frac{42}{5}
.
Указание. Если окружности радиусов r
и R
касаются внешним образом, то отрезок их общей внешней касательной, заключённый между точками касания равен 2\sqrt{rR}
(см. задачу 365).
Решение. Пусть ABC
— треугольник со сторонами AC=10
, BC=12
и AB=14
. Обозначим через x
, y
и z
радиусы шаров с центрами O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
, касающихся плоскости треугольника ABC
в точках A
, B
и C
соответственно и попарно касающихся между собой внешним образом (рис. 1).
Прямые O_{2}B
и O_{3}C
перпендикулярны плоскости треугольника ABC
, поэтому O_{2}B\parallel O_{3}C
. Проведём через эти прямые плоскость (рис. 2). Получим касающиеся окружности радиусов y
и z
с центрами O_{2}
, O_{3}
и прямую, касающуюся этих окружностей в точках B
и C
. Поскольку BC=12
, имеем уравнение 2\sqrt{yz}=12
(см. задачу 365). Аналогично 2\sqrt{xz}=10
и 2\sqrt{xy}=14
. После очевидных преобразований получим систему уравнений
\syst{xy=49\\xz=25\\yz=36.\\}
Перемножив почленно два первых уравнения и разделив результат на третье, найдём, что x=\frac{35}{6}
. Аналогично находим y
и z
.