9418. Точки K
и N
— середины рёбер соответственно BD
и AC
правильного тетраэдра ABCD
с ребром 1. Найдите расстояние между прямыми AB
и KN
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Первый способ. Пусть P
— середина ребра BC
. Сечение тетраэдра ABCD
плоскостью, проходящей через точки K
, N
и P
, — квадрат KPNQ
, где Q
— середина ребра AD
. Плоскость сечения проходит через прямую KN
параллельно прямой AB
(она содержит прямую NP
, параллельную AB
), значит, расстояние между прямыми KN
и AB
равно расстоянию от произвольной точки прямой AB
, например, от середины M
ребра AB
, до плоскости KNP
(см. задачу 7889).
Пусть O
— центр квадрата KPNQ
. Поскольку MK=MN=MP=MQ
, отрезок MO
— высота правильной четырёхугольной пирамиды OKPNQ
с вершиной M
. При этом сторона основания и боковые рёбра пирамиды равны \frac{1}{2}
. Следовательно, её высота (а значит, и расстояние между прямыми AB
и KN
) равна \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}
(см. задачу 7049).
Второй способ. Искомое расстояние вдвое меньше расстояния между противоположными рёбрами AB
и CD
, т. е. равно \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}
(см. задачу 7046).
Третий способ. Достроим данный правильный тетраэдр ABCD
до куба AXCYZDTB
(AZ\parallel XD\parallel CT\parallel YB
), проведя через пары противоположных рёбер три пары параллельных плоскостей (см. задачу 7105). Ребро этого куба равно \frac{\sqrt{2}}{2}
. Плоскость, проходящая через прямую KN
параллельно грани AYBZ
куба, параллельна прямой AB
, значит, расстояние между прямыми AB
и KN
равно расстоянию между проведённой плоскостью и плоскостью AYBZ
, т. е. половине ребра куба: \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}
.