9566. В тетраэдре ABCD
плоские углы BAD
и BCD
тупые. Сравните длины рёбер AC
и BD
.
Ответ. AC\lt BD
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим сферу с диаметром BD
. Поскольку углы BAD
и BCD
тупые, вершины A
и C
лежат внутри этой сферы, следовательно расстояние от A
до C
меньше диаметра (см. задачу 3538).
Второй способ. В треугольниках ABD
и CBD
проведём медианы AM
и CM
соответственно. Известно, что в тупоугольном треугольнике медиана, проведённая к большей стороне, меньше, чем половина этой стороны (см. задачу 3550). Тогда, так как углы BAD
и BCD
тупые, AM\lt\frac{1}{2}BD
и CM\lt\frac{1}{2}BD
. Следовательно, по неравенству треугольника
AC\lt AM+CM\lt\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}BD=BD.