9567. На каждой грани правильного тетраэдра с ребром 1 во внешнюю сторону построены правильные тетраэдры. Четыре их вершины, не принадлежащие исходному тетраэдру, образовали новый тетраэдр. Найдите его рёбра.
Ответ. Каждое ребро равно \frac{5}{3}
.
Решение. Пусть DABC
— данный тетраэдр, O
— ортогональная проекция вершины D
на плоскость ABC
. Тогда O
— центр треугольника ABC
.
Первый способ. Пусть PABC
и QBCD
— два правильных тетраэдра, построенные на гранях исходного тетраэдра. Тогда PQ
— ребро нового тетраэдра. Пусть K
— середина ребра BC
, а угол между гранями правильного тетраэдра равен \alpha
. Тогда
DK=PK=QK=\frac{\sqrt{3}}{2},~\angle DKO=\angle PKO=\angle QKD=\alpha.
Из прямоугольного треугольника DOK
находим, что
\cos\alpha=\frac{OK}{DK}=\frac{1}{3},~
Тогда
\cos3\alpha=4\cos^{3}\alpha-3\cos\alpha=\frac{4}{27}-1=-\frac{23}{27}.
Из треугольника PKQ
по теореме косинусов находим, что
PQ^{2}=KP^{2}+KQ^{2}-2KP\cdot KQ\cos3\alpha=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+2\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{23}{27}=\frac{25}{9}.
Следовательно, PQ=\frac{5}{3}
. Аналогично находим, что остальные рёбра нового тетраэдра также равны \frac{5}{3}
.
Второй способ. Пусть M
— точка пересечения медиан исходного тетраэдра DABC
. Тогда M
лежит на медиане DO
тетраэдра и DM:MO=3:1
(см. задачу 7110). Тетраэдр PABC
симметричен исходному относительно плоскости ABC
, поэтому O
— середина отрезка DP
. Следовательно, точка M
лежит на отрезке DP
и DM:MP=3:5
.
Проведя аналогичные рассуждения для других построенных тетраэдров, получим, что вершины нового тетраэдра являются образами вершин исходного при гомотетии с центром M
и коэффициентом k=\frac{5}{3}
Значит, новый тетраэдр правильный, а длина его ребра равна \frac{5}{3}
.