9572. Дан куб ABCDA'B'C'D'
с ребром 1. На его рёбрах AB
, BC
, C'D'
и D'A'
отмечены точки K
, L
, M
и N
соответственно так, что KLMN
— квадрат. Найдите его площадь.
Ответ. \frac{9}{8}
.
Решение. Рассмотрим ортогональную проекцию KLPQ
квадрата KLMN
на плоскость грани ABCD
(точки P
и Q
лежат на рёбрах CD
и AD
соответственно). Из свойств параллельного проектирования следует, что это параллелограмм, а из теоремы трёх перпендикулярах, — это прямоугольник (например, ортогональная проекция PL
наклонной ML
на эту плоскость перпендикулярна прямой KL
).
Прямоугольник KLPQ
не является квадратом (иначе KQ=KL=KN
, т. е. катет прямоугольного треугольника KQN
равен гипотенузе KN
), поэтому его стороны соответственно параллельны диагоналям квадрата ABCD
(см. задачу 1995).
Пусть
KL=KN=a,~AK=AQ=x.
Тогда
BK=1-x,~KQ=x\sqrt{2}.
Из прямоугольного треугольника KNQ
получаем, что a^{2}=2x^{2}+1
, а из подобия треугольников KBL
и ABC
—
\frac{BK}{AB}=\frac{KL}{AC},~\mbox{или}~\frac{1-x}{1}=\frac{a}{\sqrt{2}}.
Из системы
\syst{a^{2}=2x^{2}+1\\1-x=\frac{a}{\sqrt{2}}\\}
находим, что x=\frac{1}{4}
, a=\frac{3\sqrt{2}}{4}
. Следовательно,
S_{KLMN}=a^{2}=\frac{9}{8}.