9618. Пусть R
и r
— радиусы соответственно описанного и вписанного шаров тетраэдра. Докажите, что R\geqslant3r
.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
— точки пересечения медиан граней соответственно BDC
, ADC
, ADB
и ABC
тетраэдра ABCD
. Медианы AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
тетраэдра ABCD
пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1
, считая от вершины (см. задачу 7110), поэтому при гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом -\frac{1}{3}
тетраэдр ABCD
переходит в тетраэдр A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
Пусть R_{1}
— радиус шара, описанного около тетраэдра A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Тогда R=3R_{1}
, а так как R_{1}\geqslant r
, то R\geqslant3r
.
Это неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD
— правильный тетраэдр.