9662. Докажите, что шесть плоскостей, каждая из которых проходит через середину одного ребра тетраэдра и перпендикулярна противоположному ребру, пересекаются в одной точке (точке Монжа).
Указание. Отметьте точку, симметричную центру описанной сферы относительно точки пересечения медиан тетраэдра.
Решение. Пусть P
и Q
середины противоположных рёбер соответственно AB
и CD
тетраэдра ABCD
, M
— точка пересечения медиан тетраэдра (см. задачу 7110), O
— центр его описанной сферы.
Известно, что точки P
и Q
симметричны относительно точки M
(см. задачу 7108). Пусть O'
— точка, симметричная O
относительно точки M
. Тогда O'P\parallel OQ
, а так как OQ\perp CD
, то O'P\perp CD
. Значит, плоскость, проходящая через середину P
ребра AB
перпендикулярно противолежащему ребру CD
, содержит точку O'
.
Аналогично для остальных пяти плоскостей, о которых говорится в условии задачи. Следовательно, все шесть таких плоскостей проходят через точку O'
.
Примечание. Из приведённого решения следует, что точка пересечения медиан тетраэдра, центр описанной сферы и точка Монжа лежат на одной прямой. Эта прямая, называется прямой Эйлера (произвольного) тетраэдра.