9718. Точки K
, L
, M
, N
являются центрами окружностей, вписанных в грани SAB
, SAC
, SBC
и ABC
тетраэдра SABC
. Известно, что AB=SC=5
, AC=SB=7
, BC=SA=8
. Найдите объём тетраэдра KLMN
.
Ответ. \frac{\sqrt{11}}{5}
.
Решение. Тетраэдр SABC
равногранный (см. задачу 7266). Его двугранные углы при противоположных рёбрах попарно равны (см. задачу 7677). Пусть BC=SA=a=8
, AC=SB=b=7
, AB=SC=c=5
. Пусть K
, L
, M
, N
— центры вписанных окружностей треугольников SAB
, SAC
, SBC
и ABC
соответственно. Тетраэдр KLMN
также равногранный (см. задачу 7379). Обозначим KL=MN=a'
, KM=LN=b'
, KN=LM=c'
, \angle BAC=\alpha'
, \angle ABC=\beta'
, \angle ACB=\gamma'
. Пусть двугранные углы при рёбрах SA
и BC
равны \alpha
, при рёбрах SB
и AC
— \beta
, при рёбрах SC
и AB
— \gamma
.
Пусть площади граней тетраэдра SABC
равны S
, радиусы вписанных окружностей равны r
, полупериметры равны p
. Тогда
p=\frac{8+7+5}{2}=10,~S=\sqrt{10\cdot2\cdot3\cdot5}=10\sqrt{3},~r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}.
По теореме косинусов
\cos\alpha'=\frac{25+49-64}{2\cdot5\cdot7}=\frac{1}{7},~
\cos\beta'=\frac{25+64-49}{2\cdot5\cdot8}=\frac{1}{2},~
\cos\gamma'=\frac{64+49-25}{2\cdot8\cdot7}=\frac{11}{14}.
Тогда
\sin\alpha'=\frac{4\sqrt{3}}{7},~\sin\beta'=\frac{\sqrt{3}}{2},~\sin\gamma'=\frac{5\sqrt{3}}{14}.
По теореме косинусов для трёхгранного угла (см. задачу 7438)
\cos\alpha=\frac{\cos\alpha'-\cos\beta'\cos\gamma'}{\sin\beta'\sin\gamma'}=\frac{\frac{1}{7}-\frac{1}{2}\cdot\frac{11}{14}}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{5\sqrt{3}}{14}}=-\frac{7}{15},
\cos\beta=\frac{\cos\beta'-\cos\alpha'\cos\gamma'}{\sin\alpha'\sin\gamma'}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{7}\cdot\frac{11}{14}}{\frac{4\sqrt{3}}{7}\cdot\frac{5\sqrt{3}}{14}}=\frac{19}{30},
\cos\gamma=\frac{\cos\gamma'-\cos\alpha'\cos\beta'}{\sin\alpha'\sin\beta'}=\frac{\frac{11}{14}-\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{4\sqrt{3}}{7}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{6}.
Тогда
\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{1+\frac{7}{15}}{2}=\frac{11}{15},
\sin^{2}\frac{\beta}{2}=\frac{1-\cos\beta}{2}=\frac{1-\frac{19}{30}}{2}=\frac{11}{60},
\sin^{2}\frac{\gamma}{2}=\frac{1-\cos\gamma}{2}=\frac{1-\frac{5}{6}}{2}=\frac{1}{12}.
Значит (см. задачу 7379),
a'^{2}=4r^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+(b-c)^{2}=12\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+(7-5)^{2}=12\cdot\frac{11}{15}+4=\frac{64}{5},
b'^{2}=4r^{2}\sin^{2}\frac{\beta}{2}+(a-c)^{2}=12\cdot\frac{11}{60}+9=\frac{56}{5},
c'^{2}=4r^{2}\sin^{2}\frac{\gamma}{2}+(a-b)^{2}=12\cdot\frac{1}{12}+1=2.
Следовательно, если V
— объём равногранного тетраэдра KLMN
, то (см. задачу 7276)
V=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{(a'^{2}+c'^{2}-b'^{2})(a'^{2}+b'^{2}-c'^{2})(b'^{2}+c'^{2}-a'^{2})}{2}}=
=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{(64+10-56)(64+56-10)(56+10-64)}{250}}=
=\frac{1}{30}\sqrt{\frac{18\cdot110\cdot2}{10}}=\frac{\sqrt{11}}{5}.