9751. В тетраэдре ABCD
грани ABC
и BCD
перпендикулярны, \angle BAC=90^{\circ}
. Докажите, что из отрезков, длины которых равны произведениям длин противоположных рёбер тетраэдра, можно составить прямоугольный треугольник.
Решение. Докажем, что
(AD\cdot BC)^{2}=(BD\cdot AC)^{2}+(CD\cdot AB)^{2}.
Это равенство равносильно аналогичному равенству для ортогональной проекции D_{1}
точки D
на плоскость ABC
, т. е. равенству
AD_{1}^{2}\cdot BC^{2}=BD_{1}^{2}\cdot AC^{2}+CD_{1}^{2}\cdot AB^{2}.
Действительно, вычитая из первого равенства второе и применяя теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам DD_{1}A
, DD_{1}B
и DD_{1}C
, получим равенство
DD_{1}^{2}\cdot BC^{2}=DD_{1}^{2}\cdot AC^{2}+DD_{1}^{2}\cdot AB^{2},~\mbox{или}~BC^{2}=AC^{2}+AB^{2},
что верно, так как \angle BAC=90^{\circ}
.
Таким образом, задача сводится к доказательству равенства
AD_{1}^{2}\cdot BC^{2}=BD_{1}^{2}\cdot AC^{2}+CD_{1}^{2}\cdot AB^{2}.
Опишем окружность около прямоугольного треугольника ABC
и обозначим точку её пересечения с лучом AD_{1}
. Треугольник D_{1}BE
подобен треугольнику D_{1}AC
, а треугольник D_{1}AB
— треугольнику D_{1}CE
, поэтому
\frac{BE}{AC}=\frac{BD_{1}}{AD_{1}}~\mbox{и}~\frac{AB}{CE}=\frac{AD_{1}}{CD_{1}},
или
BD_{1}\cdot AC=AD_{1}\cdot BE~\mbox{и}~CD_{1}\cdot AB=AD_{1}\cdot CE.
Следовательно,
(BD_{1}\cdot AC_{1})^{2}+(CD_{1}\cdot AB)^{2}=(AD_{1}\cdot BE_{1})^{2}+(AD_{1}\cdot CE_{1})^{2}=
=AD_{1}^{2}\cdot(BE^{2}+CE^{2})=AD_{1}^{2}\cdot BC^{2}
(так как треугольник BCE
прямоугольный с прямым углом при вершине E
). Что и требовалось доказать.
Примечание. Равенство
AD_{1}^{2}\cdot BC^{2}=BD_{1}^{2}\cdot AC^{2}+CD_{1}^{2}\cdot AB^{2}.
можно доказать с помощью теоремы Стюарта (см. задачу 2663) для прямоугольного треугольника