9783. Найдите радиус шара, вписанного в тетраэдр ABCD
, если AB=CD=6
, а каждое из остальных рёбер равно \sqrt{34}
.
Ответ. \frac{6}{5}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Тогда CM
и DM
— медианы, а значит, и высоты равнобедренных треугольников ABC
и ABD
. Прямая AB
перпендикулярна плоскости CMD
, так как эта прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым CM
и DM
этой плоскости. Значит, AB\perp MN
. Аналогично, CD\perp MN
. Следовательно, MN
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
.
Из прямоугольного треугольника AMD
находим, что
DM=\sqrt{AD^{2}-AM^{2}}=\sqrt{34-9}=\sqrt{25}=5,
а так как все грани тетраэдра ABCD
— равные равнобедренные треугольники, то
BN=AN=CM=DM=5.
Из прямоугольного треугольника AMN
находим, что
MN=\sqrt{AN^{2}-AM^{2}}=\sqrt{25-9}=4.
Первый способ. Пусть O
— центр шара радиуса r
, вписанного в тетраэдр ABCD
. Шар вписан в двугранные углы тетраэдра при рёбрах AB
и CD
, значит, его центр O
лежит в биссекторной плоскости каждого из этих двугранных углов, т. е. в плоскостях ANB
и CMD
. Эти плоскости пересекаются по прямой MN
, поэтому точка O
лежит на отрезке MN
.
Сечение шара плоскостью CMD
— круг с центром O
радиуса r
, вписанный в угол CMD
(линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре AB
). Пусть P
— точка касания круга со стороной MC
. Сечение тетраэдра плоскостью ANB
— круг с центром O
радиуса r
, вписанный в угол ANB
. Пусть Q
— точка касания круга со стороной NB
.
Из равенства прямоугольных треугольников OPM
и OQN
(по катету OP=OQ=r
и противолежащему острому углу) получаем, что
OM=ON=\frac{1}{2}MN=2.
Следовательно,
r=OP=OM\sin\angle OMP=OM\sin\angle NMC=OM\cdot\frac{CN}{CM}=2\cdot\frac{3}{5}=\frac{6}{5}.
Второй способ. Заметим, что прямая CD
лежит в плоскости CMD
, перпендикулярной прямой AB
. Значит, CD\perp AB
, т. е. синус угла \varphi
между этими прямыми равен 1.
Пусть V
— объём тетраэдра, S
— его полная поверхность, r
— радиус вписанного шара. Тогда (см. задачу 7234)
V=\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot MN=\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot MN\sin\varphi=\frac{1}{6}\cdot6\cdot6\cdot4=24.
С другой стороны (см. задачу 7185)
V=\frac{1}{3}Sr=\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot5r=20r.
Из уравнения 20r=24
находим, что r=\frac{6}{5}
.
Третий способ. Все грани тетраэдра — равные треугольники (по трём сторонам), т. е. тетраэдр равногранный. Его описанный параллелепипед прямоугольный (см. задачу 7267). Если x
, y
и z
— измерения этого параллелепипеда, а R
— радиус описанной около него круга (а значит, круга, описанного около тетраэдра ABCD
, то
\syst{x^{2}+z^{2}=36\\y^{2}+z^{2}=34\\x^{2}+y^{2}=34,\\}
откуда
R=\frac{1}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{18+17+17}=\sqrt{13}.
В равногранном тетраэдре центр O
вписанного шара совпадает с центром описанного (см. задачу 7280). Проекция O_{1}
точки O
на плоскость ABC
— центр описанного круга треугольника ABC
, а O_{1}A=R_{1}
— радиус круга. По теореме синусов
R_{1}=\frac{AC}{2\sin\angle ABC}=\frac{\sqrt{34}}{2\cdot\frac{5}{\sqrt{34}}}=\frac{17}{5}.
Следовательно,
r=OO_{1}=\sqrt{OA^{2}-O_{1}A^{2}}=\sqrt{13-\frac{289}{25}}=\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{6}{5}.