9784. Найдите радиус шара, вписанного в тетраэдр ABCD
, если AB=10
, CD=18
, а каждое из остальных рёбер равно 5\sqrt{10}
.
Ответ. \frac{45}{16}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Тогда CM
и DM
— медианы, а значит, и высоты равнобедренных треугольников ABC
и ABD
. Прямая AB
перпендикулярна плоскости CMD
, так как эта прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым CM
и DM
этой плоскости. Значит, AB\perp MN
. Аналогично, CD\perp MN
. Следовательно, MN
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
.
Из прямоугольных треугольников AMD
, AND
и DMN
находим, что
CM=DM=\sqrt{AD^{2}-AM^{2}}=\sqrt{250-25}=\sqrt{225}=15,
BN=AN=\sqrt{AD^{2}-DN^{2}}=\sqrt{250-81}=13,
MN=\sqrt{DM^{2}-DN^{2}}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12.
Первый способ. Пусть O
— центр шара радиуса r
, вписанного в тетраэдр ABCD
. Шар вписан в двугранные углы тетраэдра при рёбрах AB
и CD
, значит, его центр O
лежит в биссекторной плоскости каждого из этих двугранных углов, т. е. в плоскостях ANB
и CMD
. Эти плоскости пересекаются по прямой MN
, поэтому точка O
лежит на отрезке MN
. Тогда OM+ON=MN=12
.
Сечение шара плоскостью CMD
— окружность с центром O
радиуса r
, вписанная в угол CMD
(линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре AB
). Пусть P
— точка касания окружности со стороной MC
. Из прямоугольного треугольника OPM
находим, что
OM=\frac{OP}{\sin\angle OMP}=\frac{OP}{\sin\angle NMC}=\frac{OP}{\frac{CN}{CM}}=\frac{r}{\frac{9}{15}}=\frac{5r}{3}.
Аналогично, рассматривая сечение тетраэдра плоскостью ANB
, находим, что ON=\frac{13r}{5}
. Из уравнения \frac{5r}{3}+\frac{13r}{5}=12
находим, что r=\frac{45}{16}
.
Второй способ. Заметим, что прямая CD
лежит в плоскости CMD
, перпендикулярной прямой AB
. Значит, CD\perp AB
, т. е. синус угла \varphi
между этими прямыми равен 1.
Пусть V
— объём тетраэдра, S
— его полная поверхность, r
— радиус вписанного шара. Тогда (см. задачу 7234)
V=\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot MN=\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot MN\sin\varphi=\frac{1}{6}\cdot10\cdot18\cdot12=360.
С другой стороны (см. задачу 7185)
V=\frac{1}{3}Sr=\frac{1}{3}(10\cdot15+18\cdot13)r=\frac{1}{3}\cdot384r=128r.
Из уравнения 128r=360
находим, что r=\frac{45}{16}
.