9843. Центр основания конуса совпадает с центром грани ABCD
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а вершина конуса — с центром противоположной грани. Прямая, проходящая через середины рёбер C_{1}D_{1}
и BB_{1}
, касается боковой поверхности конуса в точке M
. Найдите радиус основания конуса и отношение, в котором образующая конуса, проходящая через точку M
, делится этой точкой (считая от вершины).
Ответ. 1; 1:3
.
Решение. Пусть O
и S
— центры граней соответственно ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
данного куба, т. е. центр основания и вершина конуса, P
и Q
— середины рёбер BB_{1}
и C_{1}D_{1}
соответственно, K
— середина ребра CD
. Пусть прямые PQ
и KB
, лежащие в плоскости параллельных прямых BB_{1}
и QK
, пересекаются в точке E
. Тогда E
— точка пересечения прямой PQ
с плоскостью основания ABCD
куба. Отрезок BP
— средняя линия треугольника EKQ
, поэтому BE=BK
.
Пусть прямая EN
, параллельная OK
(а значит, SQ
), пересекает прямую CD
в точке F
, а ON
— перпендикуляр к EF
. Тогда радиус r
основания конуса равен отрезку ON
(см. задачу 9840). Поскольку ONFK
— прямоугольник, а точка B
— середина KE
, то
r=ON=KF=2KC=1.
Точка M
лежит в плоскости параллельных прямых SQ
и EN
. Треугольник SMQ
подобен треугольнику NME
с коэффициентом \frac{SQ}{NE}=\frac{OK}{NE}=\frac{1}{3}
. Следовательно, \frac{SM}{ME}=\frac{1}{3}
.