9845. Центр основания конуса совпадает с центром грани ABCD
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а вершина конуса — с центром противоположной грани. Прямая, проходящая через середины отрезков AD_{1}
и A_{1}B_{1}
, касается боковой поверхности конуса в точке M
. Найдите радиус основания конуса и отношение, в котором образующая конуса, проходящая через точку M
, делится этой точкой (считая от вершины).
Ответ. r=1
; 1:1
.
Решение. Пусть O
и S
— центры граней соответственно ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
данного куба (рис. 1), т. е. центр основания и вершина конуса, P
и Q
— середины отрезков AD_{1}
и A_{1}B_{1}
соответственно, P'
и Q'
— ортогональные проекции точек соответственно P
и Q
на плоскость грани ABCD
. Тогда P'
— середина ребра AD
, а Q'
— середина ребра AB
.
Пусть прямые PQ
и P'Q'
, лежащие в плоскости параллельных прямых PP'
и QQ'
, пересекаются в точке E
. Тогда E
— точка пересечения прямой PQ
с плоскостью основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
куба. Отрезок PP'
— средняя линия треугольника EQQ'
, поэтому P'
— середина отрезка EQ'
. Значит, точка E
лежит на прямой CD
, причём DE=AQ'=\frac{1}{2}
.
Через точку E
параллельно SQ
(а значит, AD
) проведём прямую и опустим на неё перпендикуляр ON
(рис. 2). Тогда радиус r
основания конуса равен отрезку ON
(см. задачу 9840), т. е.
r=ON=OP'+P'N=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.
Точка M
лежит в плоскости параллельных прямых SQ
и EN
. Треугольник SMQ
подобен треугольнику NME
. Следовательно,
\frac{SM}{MN}=\frac{SQ}{NE}=\frac{SQ}{DP'}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1.