9881. В тетраэдре ABCD
ребро BD
перпендикулярно плоскости ABC
. Известно, что AB=BC=CA=BD
. Точка M
— середина ребра BC
. Плоскость, проходящая через точку M
и перпендикулярная прямой AD
, пересекает ребро AD
в точке K
. Найдите отношение AK:KD
.
Ответ. 3:5
.
Решение. Обозначим AB=BC=CA=BD=a
. Тогда
MA=\frac{a\sqrt{3}}{2},~MD=\sqrt{BD^{2}+BM^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.
Прямая MK
лежит в плоскости, перпендикулярной прямой AD
, поэтому AD\perp MK
. Прямая AM
перпендикулярна пересекающимся прямым BC
и DB
плоскости BCD
, поэтому прямая AM
перпендикулярна этой плоскости (см. задачу 7700), а значит, DM\perp AM
, т. е. треугольник AMB
прямоугольный, а MK
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно (см. задачу 1946),
\frac{AK}{KD}=\frac{MA^{2}}{MD^{2}}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{3}{5}.