9905. Ребро DB
тетраэдра ABCD
перпендикулярно плоскости ABC
. Точка M
— середина ребра BC
. Найдите расстояние между прямыми AC
и DM
, если BD=3
, AC=12
, AB=BC=10
.
Ответ. \frac{12}{5}
.
Решение. Первый способ. Пусть N
и L
— середины рёбер AB
и AC
, K
— точка пересечения средней линии MN
треугольника ABC
с медианой BL
. Прямая AC
параллельна плоскости DMN
, так как она параллельна прямой MN
этой плоскости. Значит, расстояние между скрещивающимися прямыми AC
и DM
равно расстоянию от произвольной точки прямой AC
, например, от точки L
, до плоскости DMN
(см. задачу 7889). Поскольку K
— середина BL
(см. задачу 1881), точки D
и L
равноудалены от плоскости DMN
(см. задачу 9180).
Опустим перпендикуляр DH
на медиану DL
равнобедренного треугольника DMN
. Тогда DH
— перпендикуляр к плоскости DMN
, значит, искомое расстояние равно длине отрезка DH
. Из прямоугольного треугольника DBK
с катетами
BD=4,~BK=\frac{1}BL=\frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}-BL^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{10^{2}-6^{2}}=4
и гипотенузой DK=5
находим, что
BH=\frac{BD\cdot BK}{DK}=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}
(см. задачу 1967).
Второй способ. Пусть N
и L
— середины рёбер AB
и AC
, K
— точка пересечения средней линии MN
треугольника ABC
с медианой BL
. Плоскость DBL
перпендикулярна прямой AC
, а DK
— ортогональная проекция прямой DM
на эту плоскость, поэтому расстояние между прямыми AC
и DM
равно расстоянию от точки L
до прямой DK
(см. задачу 8406), а так как точки L
и B
равноудалены от прямой DK
, то это расстояние равно расстоянию от точки B
до этой плоскости, т. е. \frac{12}{5}
(см. первый способ).