9917. Основание пирамиды SABC
— равнобедренный треугольник ABC
со сторонами AB=AC=30
, BC=48
. Боковое ребро SA
перпендикулярно плоскости основания и равно 120. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
Ответ. 65.
Решение. Центр O
сферы равноудалён от вершин оснований, значит, он лежит на прямой, проходящей через центр Q
окружности, описанной около основания пирамиды, перпендикулярно этой плоскости (см. задачу 9056), а значит, параллельной SA
. С другой стороны, центр сферы равноудалён от точек A
и S
, поэтому он лежит на плоскости, проходящей через середину M
отрезка SA
перпендикулярно прямой SA
(см. задачу 8171). Тогда OA=R
— искомый радиус сферы. Поскольку AMOQ
прямоугольник, OQ=AM=\frac{1}{2}SA=60
.
Пусть AH
— высота равнобедренного треугольника ABC
, r
— радиус окружности с центром Q
, описанной около треугольника ABC
. Тогда
AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{30^{2}-24^{2}}=\sqrt{6\cdot54}=6\cdot3=18.
Продолжим отрезок AH
до пересечения с окружностью в точке A_{1}
. Отрезок BH
— высота прямоугольного треугольника ABA_{1}
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
BH^{2}=AH\cdot HA_{1},~\mbox{или}~24^{2}=18(2r-18),
откуда QA=r=25
. Следовательно,
R=OA=\sqrt{OQ^{2}+QA^{2}}=\sqrt{60^{2}+25^{2}}=5\sqrt{12^{2}+5^{2}}=5\cdot13=65.