9921. В тетраэдре ABCD
известно, что \angle DAC=\angle DBC=\angle ACB=90^{\circ}
, AC=\sqrt{2}
, CD=2
, BC=1
. Найдите расстояние от точки D
до плоскости ABC
.
Ответ. 1.
Решение. Из прямоугольного треугольника DAC
находим, что
DA=\sqrt{CD^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}=AC.
Значит, треугольник DAC
равнобедренный, и \angle ACD=\angle ADC=45^{\circ}
.
В прямоугольном треугольнике DBC
катет CD
вдвое меньше гипотенузы CD
, поэтому \angle BDC=30^{\circ}
, а \angle BCD=60^{\circ}
.
Пусть DH
— высота тетраэдра. Прямая DC
образует с прямыми AC
и BC
плоскости ABC
углы 45^{\circ}
и 60^{\circ}
. Тогда, если угол между прямой DC
и плоскостью ABC
равен \gamma
, т. е. \angle DCH=\gamma
, то
\cos^{2}\gamma=cos^{2}45^{\circ}+\cos^{2}60^{\circ}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}
(см. задачу 9920). Тогда \cos\gamma=\frac{\sqrt{3}}{2}
, а \gamma=30^{\circ}
. Следовательно, DH=\frac{1}{2}DC=1
.