9952. Все двугранные углы трёхгранного угла равны 90^{\circ}
. Докажите, что его плоские углы также равны 90^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть S
— вершина трёхгранного угла SABC
. По условию плоскости ASC
и BSC
перпендикулярны плоскости ASB
и пересекаются по прямой SC
, значит, прямая SC
перпендикулярна плоскости ASB
(см. задачу 9104), а ASB
— линейный угол двугранного угла при ребре SC
. Он равен 90^{\circ}
, так как плоскости ASC
и BSC
перпендикулярны по условию задачи. Аналогично для углов ASC
и BSC
.
Второй способ. Пусть двугранные углы при рёбрах SA
, SB
, SC
трёхгранного угла SABC
с вершиной S
равны \alpha_{1}
,\beta_{1}
, \gamma_{1}
соответственно, а плоский угол ASB
равен \gamma
. Тогда (см. задачу 7439)
\cos\gamma=\frac{\cos\gamma_{1}+\cos\alpha_{1}\cos\beta_{1}}{\sin\alpha_{1}\sin\beta_{1}}=\frac{\cos90^{\circ}+\cos90^{\circ}\cos90^{\circ}}{\sin90^{\circ}\sin90^{\circ}}=\frac{0}{1}=0.
Следовательно, \gamma=90^{\circ}
. Аналогично для остальных плоских углов.