9990. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD
— равнобедренная трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
. Плоскости SAB
и SCD
перпендикулярны плоскости основания. Точка K
— середина ребра AD
. Известно, что SK=AD=2AB=2BC
. Найдите угол между плоскостями SAD
и ABC
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке H
. Тогда плоскости ASB
и CSD
пересекаются по прямой SH
, а так как обе эти плоскости перпендикулярны плоскости основания пирамиды, то прямая SH
перпендикулярна плоскости основания ABCD
(см. задачу 9104), т. е. SH
— высота пирамиды.
Обозначим AB=BC=CD=a
. Поскольку BC\parallel AD
и BC=\frac{1}{2}AD
, отрезок BC
— средняя линия треугольника AHD
(см. примечание 1 к задаче 1880), поэтому DH=AH=2AB=2a
, а так как AD=2AB=2a
, то треугольник AHD
равносторонний. Его медиана HK
является высотой. Ортогональные проекции HA
и HD
наклонных SA
и SD
равны, значит, треугольник ASD
равнобедренный. Его медиана SK
является высотой. Таким образом, SKH
— искомый угол между плоскостями SAD
и AHD
.
Из равностороннего треугольника AHD
находим, что
HK=\frac{AD\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3},
значит,
\cos\angle SKH=\frac{HK}{SK}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно, \angle SKH=30^{\circ}
.