9993. Основание пирамиды SABCD
— прямоугольник, диагональ которого равна d
. Грани SAB
и SCB
перпендикулярны плоскости основания, а грани SCD
и SAD
образуют с плоскостью основания углы, соответственно равные 30^{\circ}
и 60^{\circ}
. Найдите ребро SB
.
Ответ. \frac{d\sqrt{30}}{10}
.
Решение. Плоскости SAB
и SCB
перпендикулярны плоскости основания пирамиды и пересекаются по прямой SB
, поэтому прямая SB
перпендикулярна плоскости основания (см. задачу 9104). Ортогональная проекция BA
наклонной SA
перпендикулярна прямой AD
, лежащей в плоскости основания, значит, о теореме о трёх перпендикулярах (см. задачу 7707) SA\perp AD
. Следовательно, SAB
— линейный угол при ребре AD
пирамиды. По условию \angle SAB=60^{\circ}
. Аналогично, \angle SCB=30^{\circ}
.
Обозначим SB=h
. Из прямоугольных треугольников SAB
и SCB
получаем
AB=SB\ctg60^{\circ}=\frac{h}{\sqrt{3}},~BC=SB\ctg30^{\circ}=h\sqrt{3}.
По теореме Пифагора
d^{2}=AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=\frac{h^{2}}{3}+3h^{2}=\frac{10h^{2}}{3},
откуда
SB^{2}=h^{2}=\frac{3d^{2}}{10}.
Следовательно,
SB=d\sqrt{\frac{3}{10}}=\frac{d\sqrt{30}}{10}.