9994. Основание пирамиды SABCD
— прямоугольник ABCD
, площадь которого равна S
. Грани SAB
и SCB
перпендикулярны плоскости основания, а грани SCD
и SAD
образуют с плоскостью основания углы, соответственно равные 15^{\circ}
и 75^{\circ}
. Найдите ребро SB
.
Ответ. \sqrt{S}
.
Решение. Плоскости SAB
и SAD
перпендикулярны плоскости основания пирамиды и пересекаются по прямой SB
, поэтому прямая SB
перпендикулярна плоскости основания (см. задачу 9104). Ортогональная проекция BA
наклонной SA
перпендикулярна прямой AD
, лежащей в плоскости основания, значит, о теореме о трёх перпендикулярах (см. задачу 7707) SA\perp AD
. Следовательно, SAB
— линейный угол при ребре AD
пирамиды. По условию \angle SAB=60^{\circ}
. Аналогично, \angle SCB=30^{\circ}
.
Обозначим SB=h
. Из прямоугольных треугольников SAB
и SCB
получаем
AB=SB\ctg75^{\circ}=h\ctg75^{\circ},~BC=SB\ctg15^{\circ}=h\ctg15^{\circ}=\tg75^{\circ}.
Тогда
S=AB\cdot BC=h^{2}\ctg75^{\circ}\cdot\tg75^{\circ}=h^{2},
откуда h=\sqrt{S}
.