20. Вершина A
треугольника ABC
соединена отрезком с центром O
описанной окружности. Из вершины A
проведена высота AH
. Докажите, что \angle BAH=\angle OAC
.
Указание. Продолжите AH
и AO
до пересечения с окружностью.
Решение. Пусть A
— наибольший угол треугольника, AC\gt AB
, M
и N
— точки пересечения с окружностью лучей AH
и AO
. Тогда MN\parallel CB
. Поэтому \cup CN=\cup BM
. Следовательно,
\angle BAH=\angle BAM=\angle NAC=\angle OAC.
Аналогично для остальных случаев.
Примечание. Из этого утверждения следует, что точка пересечения высот треугольника и центр описанной окружности изогонально сопряжены относительно этого треугольника (см. замечание к задаче 4122).