59. На стороне BC
треугольника ABC
как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AB
и AC
в точках M
и N
. Найдите площадь треугольника AMN
, если площадь треугольника ABC
равна S
, а угол BAC
равен \alpha
.
Ответ. S\cos^{2}\alpha
.
Указание. Треугольник MAN
подобен треугольнику CAB
(см. задачу 19).
Решение. CM
и BN
— высоты треугольника ABC
. Треугольник MAN
подобен треугольнику CAB
с коэффициентом подобия \frac{AN}{AB}=\cos\alpha
(см. задачу 19), поэтому
S_{\triangle AMN}=\left(\frac{AN}{AB}\right)^{2}\cdot S_{\triangle ABC}=S\cos^{2}\alpha.
