142. На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.
Указание. Из непокрытой точки каждая сторона была бы видна под острым углом (см. задачу 1772), что невозможно.
Решение. Предположим, что некоторая точка, расположенная внутри данного четырёхугольника, не принадлежит ни одному из указанных кругов. Тогда из этой точки диаметр каждого круга виден под острым углом (см. задачу 1772). Поскольку четырёхугольник выпуклый, то сумма этих четырёх углов должна быть равна 360^{\circ}
, что невозможно, так как по предположению каждый из углов меньше 90^{\circ}
.
Источник: Журнал «Квант». — 1991, № 1, с. 57, задача 4
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 20.2, с. 407
Источник: Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. — М.: Наука, 1975. — № 317, с. 36