217. Пусть r
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a
, b
и гипотенузой c
. Докажите, что
r=\frac{a+b-c}{2}.
Указание. Четырёхугольник, образованный прямыми, содержащими катеты, и радиусами, проведёнными в точки касания с катетами, — квадрат.
Решение. Обозначим вершины треугольника, противолежащие сторонам a
, b
и c
, через A
, B
и C
соответственно, а точки касания с этими сторонами — соответственно A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
.
Если O
— центр данной окружности, то OA_{1}CB_{1}
— квадрат. Поэтому
CA_{1}=r,~BC_{1}=BA_{1}=a-r,~AC_{1}=AB_{1}=b-r,
c=AB=AC_{1}+C_{1}B=a+b-2r.
Следовательно,
r=\frac{a+b-c}{2}.
Примечание. Верно и обратное: если r
— радиус вписанной окружности треугольника со сторонами a
, b
, c
и верно равенство r=\frac{b+c-a}{2}
, то треугольник прямоугольный (см. задачу 219).