217. Пусть r
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a
, b
и гипотенузой c
. Докажите, что
r=\frac{a+b-c}{2}.
Указание. Четырёхугольник, образованный прямыми, содержащими катеты, и радиусами, проведёнными в точки касания с катетами, — квадрат.
Решение. Обозначим вершины треугольника, противолежащие сторонам a
, b
и c
, через A
, B
и C
соответственно, а точки касания с этими сторонами — соответственно A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
.
Если O
— центр данной окружности, то OA_{1}CB_{1}
— квадрат. Поэтому
CA_{1}=r,~BC_{1}=BA_{1}=a-r,~AC_{1}=AB_{1}=b-r,
c=AB=AC_{1}+C_{1}B=a+b-2r.
Следовательно,
r=\frac{a+b-c}{2}.
Примечание. Верно и обратное: если r
— радиус вписанной окружности треугольника со сторонами a
, b
, c
и верно равенство r=\frac{b+c-a}{2}
, то треугольник прямоугольный (см. задачу 219).
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 102, с. 40
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 229, с. 23
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 5.15 (фрагмент), с. 106
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4(а), с. 56, № 5.18, с. 103
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия 7—9: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 2002. — № 15, с. 178
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 16, с. 6
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 11.4, с. 86
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 3.1, с. 32