316. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удалён от концов её боковой стороны на расстояния 15 и 20. Найдите стороны трапеции.
Ответ. 24, 21, 25, 28.
Указание. Проведите радиус в точку касания с большей боковой стороной трапеции и примените теорему о высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.
Решение. Пусть O
— центр окружности, K
— точка касания с большей боковой стороной AB
трапеции ABCD
, M
и N
— точки касания с меньшим и большим основаниями AD
и BC
соответственно.
Поскольку треугольник AOB
прямоугольный (см. задачу 313), а OK
— его высота, опущенная на гипотенузу, то
AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{20^{2}+15^{2}}=25,
AK\cdot AB=OA^{2},~BK\cdot AB=OB^{2}.
Отсюда находим, что AK=9
, BK=16.
Кроме того,
R^{2}=OK^{2}=AK\cdot BK=9\cdot16=144.
Поэтому R=12
. Следовательно,
AD=12+9=21,~BC=12+16=28,~CD=2R=24.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.191, с. 171