319. Около окружности радиуса \frac{2}{\sqrt{3}}
описана равнобедренная трапеция. Угол между диагоналями трапеции, опирающийся на основание, равен 2\arctg\frac{2}{\sqrt{3}}
. Найдите отрезок, соединяющий точки касания окружности с большим основанием трапеции и одной из её боковых сторон.
Ответ. 2.
Указание. Обозначьте половины оснований трапеции через x
и y
; найдите x
, y
и угол между боковой стороной и большим основанием.
Решение. Пусть Q
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
трапеции ABCD
; N
, M
и K
— точки касания вписанной окружности с меньшим основанием AD
, боковой стороной AB
и большим основанием BC
соответственно; O
— центр окружности. Обозначим AN=x
, BK=y
. Поскольку треугольник AOB
прямоугольный (см. задачу 313), а OM
— его высота, опущенная на гипотенузу,
\frac{4}{3}=OM^{2}=AM\cdot BM=AN\cdot BK=xy,
x+y=AN+BK=(NQ+QK)\tg\angle AQN=\frac{8}{3}.
Из полученной системы находим, что x=\frac{2}{3}
и y=2
. Следовательно,
\cos\angle ABK=\frac{y-x}{y+x}=\frac{1}{2},~\angle ABK=60^{\circ},~MK=y=2.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1980, билет 1, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 80-1-3, с. 221