341. В параллелограмме лежат две окружности, касающиеся друг друга и трёх сторон параллелограмма каждая. Радиус одной из окружностей равен 1. Известно, что один из отрезков стороны параллелограмма от вершины до точки касания равен \sqrt{3}
. Найдите площадь параллелограмма.
Ответ. 4+\frac{8}{\sqrt{3}}
.
Указание. Найдите отрезки, на которые точка касания одной из окружностей делит меньшую сторону параллелограмма.
Решение. Окружности равны. Расстояние между точками их касания с большей стороной параллелограмма равно сумме их радиусов, т. е. 2. Меньшая сторона параллелограмма видна из центра касающейся её окружности под прямым углом (см. задачу 313). Один из отрезков этой стороны от вершины до точки касания равен \sqrt{3}
, значит, второй равен \frac{1}{\sqrt{3}}
. Тогда большая сторона равна
2+\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}=2+\frac{4}{\sqrt{3}}.
Следовательно, площадь параллелограмма равна
2\left(2+\frac{4}{\sqrt{3}}\right).
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 1975, вариант 1, № 4
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 98
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 3.27.1, с. 29