346. В треугольнике ABC
с периметром 2p
сторона AC
равна a
, острый угол ABC
равен \alpha
. Вписанная в треугольник ABC
окружность с центром O
касается стороны BC
в точке K
. Найдите площадь треугольника BOK
.
Ответ. \frac{1}{2}(p-a)^{2}\tg\frac{\alpha}{2}
.
Указание. Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности полупериметра и противолежащей стороны треугольника (см. задачу 219).
Решение. Поскольку BK=p-AC=p-a
(см. задачу 219) и
OK=BK\tg\frac{\alpha}{2}=(p-a)\tg\frac{\alpha}{2},
то
S_{\triangle BOK}=\frac{1}{2}BK\cdot OK=\frac{1}{2}(p-a)^{2}\tg\frac{\alpha}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1983, № 3, вариант 1
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — № 3, с. 13
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 11.23, с. 87