346. В треугольнике ABC
с периметром 2p
сторона AC
равна a
, острый угол ABC
равен \alpha
. Вписанная в треугольник ABC
окружность с центром O
касается стороны BC
в точке K
. Найдите площадь треугольника BOK
.
Ответ. \frac{1}{2}(p-a)^{2}\tg\frac{\alpha}{2}
.
Указание. Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности полупериметра и противолежащей стороны треугольника (см. задачу 219).
Решение. Поскольку BK=p-AC=p-a
(см. задачу 219) и
OK=BK\tg\frac{\alpha}{2}=(p-a)\tg\frac{\alpha}{2},
то
S_{\triangle BOK}=\frac{1}{2}BK\cdot OK=\frac{1}{2}(p-a)^{2}\tg\frac{\alpha}{2}.
