357. В равносторонний треугольник ABC
вписана полуокружность с центром O
на стороне AB
. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны BC
и CA
в точках M
и N
соответственно, а прямая, соединяющая точки касания сторон BC
и AC
с полуокружностью, пересекает отрезки OM
и ON
в точках P
и Q
. Докажите, что MN=2PQ
.
Указание. Докажите, что MQ
и NP
— высоты треугольника NOM
.
Решение. Пусть X
и Y
— точки касания полуокружности со сторонами BC
и AC
. Тогда
\angle NOM=\frac{1}{2}\angle XOY=\frac{1}{2}(180^{\circ}-60^{\circ})=60^{\circ},~\angle CXY=60^{\circ}.
Поэтому точки M
, X
, O
и Q
лежат на одной окружности, причём MO
— диаметр этой окружности. Следовательно, MQ
— высота треугольника MON
. Аналогично докажем, что NP
— высота треугольника MON
. Поэтому треугольник POQ
подобен треугольнику NOM
с коэффициентом
\cos\angle NOM=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}
(см. задачу 19). Следовательно,
MN=\frac{PQ}{\cos60^{\circ}}=2PQ.
