374. В параллелограмме лежат две окружности. Одна из них, радиуса 3, вписана в параллелограмм, а вторая касается двух сторон параллелограмма и первой окружности. Расстояние между точками касания, лежащими на одной стороне параллелограмма, равно 3. Найдите площадь параллелограмма.
Ответ. \frac{75}{2}
.
Указание. Опустите перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус большей окружности, проведённый в точку касания с одной из сторон параллелограмма.
Решение. Поскольку в данный параллелограмм ABCD
вписана окружность, то он — ромб.
Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей, R
и r
— их радиусы (R=3
), M_{1}
и M_{2}
— точки касания окружностей со стороной AB
(M_{2}
между M_{1}
и A
). Поскольку M_{1}M_{2}=2\sqrt{Rr}=3
(см. задачу 365), то r=\frac{3}{4}
.
Пусть K
— основание перпендикуляра, опущенного из O_{2}
на O_{1}M_{1}
. Из подобия треугольников AM_{2}O_{2}
и O_{2}KO_{1}
находим, что AM_{2}=1
. Поэтому
AM_{1}=AM_{2}+M_{2}M_{1}=1+3=4.
Поскольку \angle AO_{1}B=90^{\circ}
, то O_{1}M^{2}_{1}=BM_{1}\cdot AM_{1}
(см. задачу 2728). Отсюда находим, что,
BM_{1}=\frac{9}{4},~AB=\frac{25}{4}.
Следовательно, S_{ABCD}=\frac{75}{2}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 1975, вариант 3, № 4
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 100