2728. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное (среднее геометрическое) проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на неё.
Указание. Рассмотрите подобные треугольники или воспользуйтесь тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.
Решение. Первый способ. Пусть CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, опущенная на гипотенузу AB
. Углы CAB
и BCH
равны, так как каждый из них в сумме с углом ACH
составляет 90^{\circ}
, поэтому треугольники ABC
и AHC
подобны по двум углам. Значит,
\frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC},
откуда AC^{2}=AH\cdot AB
. Аналогично докажем, что BC^{2}=BH\cdot AB
.
Треугольники CHB
и AHC
также подобны по двум углам. Поэтому
\frac{BH}{CH}=\frac{CH}{AH},
откуда CH^{2}=AH\cdot BH
.
Второй способ. Пусть CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, опущенная на гипотенузу AB
. Тогда в прямоугольных треугольниках ABC
и AHC
\cos\angle A=\frac{AC}{AB},~\cos\angle A=\frac{AH}{AC},
а так как косинус острого угла прямоугольного треугольника зависит только от градусной меры угла, то
\frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC},
откуда AC^{2}=AH\cdot AB
. Аналогично докажем, что BC^{2}=BH\cdot AB
.
Углы CAB
и BCH
равны, так как каждый из них в сумме с углом ACH
составляет 90^{\circ}
. В прямоугольных треугольниках ACH
и CHB
\tg\angle CAB=\frac{CH}{AH},~\tg\angle BCH=\frac{BH}{CH},
а так как \angle CAB=\angle BCH
и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависит только от градусной меры угла, то
\frac{CH}{AH}=\frac{BH}{CH},
откуда CH^{2}=AH\cdot BH
.
Примечание. Верно и обратное: если основание H
высоты CH
лежит на стороне AB
треугольника ABC
и при этом CH^{2}=AH\cdot BH
(или AC^{2}=AH\cdot AB
), то треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
(см. задачу 1987).