378. Сторона треугольника равна 48, а высота, проведённая к этой стороне, равна 8,5. Найдите расстояние от центра окружности, вписанной в этот треугольник, до вершины, противоположной данной стороне, если радиус вписанной окружности равен 4.
Ответ. 5.
Указание. Выразите площадь данного треугольника через его полупериметр и радиус вписанного круга.
Решение. Обозначим через M
точку касания вписанной окружности со стороной AB
треугольника ABC
(BC=48
), O
— центр вписанного круга.
Если p
— полупериметр треугольника ABC
, то p=AM+48
(см. задачу 219),
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot48\cdot8{,}5=12\cdot17.
Если r
— радиус вписанной окружности, то
S_{\triangle ABC}=pr,~\mbox{или}~12\cdot17=(AM+48)4.
Отсюда находим, что
AM=3,~OA=\sqrt{OM^{2}+AM^{2}}=5.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.260, с. 176