405. В равнобедренном треугольнике ABC
на основании AC
взята точка M
так, что AM=a
, MC=b
. В треугольники ABM
и CBM
вписаны окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком BM
.
Ответ. \frac{|a-b|}{2}
.
Указание. Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности между полупериметром и противолежащей стороной (задача 219).
Решение. Пусть P
и Q
— точки касания окружностей, вписанных в треугольники ABM
и CBM
, со стороной BM
. Тогда искомое расстояние равно |BP-BQ|
.
Пусть p_{1}
и p_{2}
— полупериметры этих треугольников. Тогда BP=p_{1}-a
, BQ=p_{2}-b
(см. задачу 219). Следовательно,
|BP-BQ|=|p_{1}-a-p_{2}+b|=
=\left|b-a-\frac{b-a}{2}\right|=\frac{|a-b|}{2}.
