412. В треугольнике ABC
со сторонами AB=\sqrt{3}
, BC=4
, AC=\sqrt{7}
проведена медиана BD
. Окружности, вписанные в треугольники ABD
и BDC
, касаются BD
в точках M
и N
соответственно. Найдите MN
.
Ответ. 2-\frac{\sqrt{3}}{2}
.
Указание. Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности полупериметра и противолежащей стороны (см. задачу 219).
Решение. Поскольку M
и N
— точки касания данных окружностей с общей стороной BD
треугольников ABD
и ACD
, то
MN=|DM-DN|=
=\left|\left(\frac{AB+BD+AD}{2}-AB\right)-\left(\frac{BC+BD+CD}{2}-BC\right)\right|=
\left|\left(\frac{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{7}}{2}+BD}{2}-\sqrt{3}\right)-\left(\frac{4+\frac{\sqrt{7}}{2}+BD}{2}-4\right)\right|=
=2-\frac{\sqrt{3}}{2}
(см. задачу 219).