414. В треугольнике ABC
со сторонами AB=3
, BC=4
и AC=5
проведена биссектриса BD
. В треугольники ABD
и BCD
вписаны окружности, которые касаются BD
в точках M
и N
соответственно. Найдите MN
.
Ответ. \frac{1}{7}
.
Указание. Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности полупериметра и противолежащей стороны (см. задачу 219).
Решение. По свойству биссектрисы треугольника
AD=\frac{3}{7}AC=\frac{15}{7},~DC=\frac{4}{7}AC=\frac{20}{7}.
Пусть P
и Q
— точки касания окружностей со стороной BD
. Тогда
MN=|MD-ND|=|PD-QD|=
=\left|\left(\frac{AB+BD+AD}{2}-AB\right)-\left(\frac{BC+BD+CD}{2}-BC\right)\right|=
=\left|\left(\frac{3+BD+\frac{15}{7}}{2}-3\right)-\left(\frac{4+BD+\frac{20}{7}}{2}-4\right)\right|=\frac{1}{7}.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1971, вариант 5