444. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.
Указание. Примените теорему о касательной и секущей.
Решение. Первый способ. Пусть A
и B
— точки пересечения двух окружностей, MN
— общая касательная (M
и N
— точки касания), K
— точка пересечения прямых AB
и MN
(A
между K
и B
). Тогда
MK^{2}=KB\cdot KA~\mbox{и}~NK^{2}=KB\cdot KA.
Следовательно, MK=NK
.
Второй способ. Прямая AB
— радикальная ось описанных окружностей треугольников ABM
и ABN
(см. задачу 6392). Следовательно, точка её пересечения с общей касательной MN
этих окружностей — середина отрезка MN
.
Примечание. Другая формулировка этой задачи: если точка B
, лежащая внутри треугольника MAN
, такова, что описанные окружности треугольников ABM
и ABN
касаются прямой MN
, то прямая AB
проходит через середину стороны MN
.
Такую точку иногда называют точкой Шалтая.