452. Докажите, что площадь треугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.
Указание. Соедините центр вписанной окружности с вершинами треугольника и сложите площади полученных треугольников.
Решение. Первый способ. Соединим центр O
вписанной окружности радиуса r
треугольника ABC
с вершинами треугольника. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
. Тогда
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOB}=
=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{a+b+c}{2}r=pr,
где p
— полупериметр треугольника.
Второй способ. На продолжениях стороны BC
за точки B
и C
отложим отрезки соответственно BP=AB
и CQ=AC
. По теореме о внешнем угле треугольника углы при основании AP
равнобедренного треугольника ABP
равны половине угла B
треугольника ABC
, т. е. углу OBA
. Значит, BO\parallel AP
. Аналогично, CO\parallel AQ
, поэтому треугольник BOC
подобен треугольнику PAQ
. Кроме того,
PQ=PB+BC+CQ=AB+BC+AC=2p,
где p
— полупериметр треугольника ABC
.
Пусть AH
— высота треугольника PAQ
, AF=r
— высота треугольника BOC
. Тогда из подобия \frac{OF}{AH}=\frac{BC}{PQ}
, или BC\cdot AH=OF\cdot PQ
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}OF\cdot PQ=\frac{1}{2}r\cdot2p=rp.
Что и требовалось доказать
Примечание. Аналогичная формула верна для площади любого описанного многоугольника (см. задачу 523).