457. Сторона BC
треугольника ABC
равна 4, сторона AB
равна 2\sqrt{19}
. Известно, что центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла C
. Найдите AC
.
Ответ. 10.
Указание. Окружность, проходящая через вершину C
и середины сторон BC
и AC
, проходит через центр данной окружности.
Решение. Первый способ. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины BC
, AC
и AB
соответственно, O
— центр данной окружности, \angle ACB=\alpha
.
Поскольку \angle A_{1}C_{1}B_{1}=\angle ACB=\alpha
, треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
равен треугольнику B_{1}A_{1}C
. Следовательно, радиусы данной окружности и окружности, описанной около треугольника A_{1}B_{1}C
, равны.
Пусть прямая OC
пересекает вторую окружность в точке M
. Тогда MA_{1}=MB_{1}
и OA_{1}=OB_{1}
. Поэтому, если точки O
и M
не совпадают, то OC\perp A_{1}B_{1}
, а так как CO
— биссектриса угла ACB
, то CA_{1}=CB_{1}
и AC=BC=4
. В этом случае
AC+BC=4+4=8\lt2\sqrt{19}=AB,
что невозможно. Значит, предположение о том, что точки M
и O
не совпадают, не верно.
Таким образом, центр второй окружности лежит на первой. Тогда
\angle A_{1}OB_{1}+\angle A_{1}CB_{1}=180^{\circ},
т. е.
2\alpha+\alpha=180^{\circ},~\alpha=60^{\circ}.
Обозначим AC=x
. Тогда по теореме косинусов
x^{2}+16-4x=(2\sqrt{19})^{2}.
Из этого уравнения находим, что x=10
.
Второй способ. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины BC
, AC
и AB
соответственно, O
— центр данной окружности, \angle ACB=\alpha
.
Поскольку \angle A_{1}C_{1}B_{1}=\angle ACB=\alpha
, треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
равен треугольнику B_{1}A_{1}C
. Следовательно, радиусы данной окружности и окружности, описанной около треугольника A_{1}B_{1}C
, равны.
Поскольку OA_{1}=OB_{1}
, точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку A_{1}B_{1}
, а так как серединный перпендикуляр к стороне треугольника и биссектриса противолежащего угла пересекаются на описанной окружности треугольника (см. задачу 1743), то точка O
лежит на описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C
. Далее см. первый способ.
Примечание. У любого треугольника с углом 60^{\circ}
центр описанной окружности серединного треугольника лежит на биссектрисе этого угла (см. задачу 175).