586. Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей к радиусу описанной окружности равно h
. Найдите углы треугольника.
Ответ. 2\arcsin\frac{\sqrt{1-h^{2}}}{2}
; \arccos h-\arcsin\frac{\sqrt{1-h^{2}}}{2}
; \pi-\arccos h-\arcsin\frac{\sqrt{1-h^{2}}}{2}
.
Указание. Если R
и r
— радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника, то расстояние между центрами этих окружностей равно \sqrt{R^{2}-2rR}
. (Формула Эйлера.)
Решение. Пусть O
и Q
— центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
, R
и r
— их радиусы; AQ
перпендикулярно OQ
.
По формуле Эйлера (см. задачу 126) находим, что OQ=\sqrt{R^{2}-2rR}
. Тогда по условию задачи hR=\sqrt{R^{2}-2rR}
, откуда \frac{r}{R}=\frac{1-h^{2}}{2}
.
Из прямоугольного треугольника AOQ
находим, что
AQ=\sqrt{AO^{2}-OQ^{2}}=\sqrt{R^{2}-(R^{2}-2rR)}=\sqrt{2rR}.
Если P
— точка касания вписанной окружности со стороной AB
, то из прямоугольного треугольника APQ
следует, что
\sin\frac{1}{2}\angle A=\frac{PQ}{AQ}=\frac{r}{\sqrt{2rR}}=\frac{\sqrt{1-h^{2}}}{2}.
Поэтому
\angle A=2\arcsin\frac{\sqrt{1-h^{2}}}{2}.
Пусть продолжение отрезка OQ
за точку Q
пересекает описанную окружность в точке E
, а продолжение отрезка AQ
за точку Q
— в точке M
. Поскольку OE
перпендикулярно AM
, то точка E
— середина дуги AM
. Поэтому
\angle AOE=\angle QOA=\arccos\frac{OQ}{AO}=\arccos h=\frac{\cup AM}{2}=
=\frac{\cup AB+\cup BM}{2}=\frac{2\angle C+2\angle BAM}{2}=\angle C+\frac{1}{2}\angle A.
Следовательно,
\angle C=\arccos h-\arcsin\frac{\sqrt{1-h^{2}}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1982, вариант 1, № 6
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 34