648. В трапецию ABCD
с основаниями BC
и AD
и боковыми сторонами AB
и CD
вписана окружность с центром O
. Найдите площадь трапеции, если угол DAB
прямой, OC=2
, OD=4
.
Ответ. \frac{72}{5}
.
Указание. Треугольник COD
— прямоугольный (см. задачу 313).
Решение. Пусть M
— точка касания окружности с боковой стороной CD
, r
— радиус окружности. Поскольку \angle COD=90^{\circ}
(см. задачу 313), то
CD=\sqrt{OC^{2}+OD^{2}}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5},~OC\cdot OD=CD\cdot OM.
Отсюда находим, что
r=OM=\frac{OC\cdot OD}{CD}=\frac{4}{\sqrt{5}}.
Высота трапеции: AB=2R=\frac{8}{\sqrt{5}}
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot AB=\frac{1}{2}(CD+AB)\cdot AB=\frac{72}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на филологический факультет МГУ. — 1980 (отд. структурной и прикладной лингвистики), вариант 1, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 124