672. В трапеции
ABCD
основание
AD
вдвое больше основания
BC
, угол
A
равен
45^{\circ}
, угол
D
равен
30^{\circ}
. На диагоналях трапеции как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках
M
и
N
. Хорда
MN
пересекает основание
BC
в точке
F
. Найдите отношение
BF:FC
.
Ответ.
\frac{1}{\sqrt{3}}
.
Указание. Примените теорему об отрезках пересекающихся хорд.
Решение. Первый способ. Пусть прямая
MN
пересекает основание
AD
в точке
E
, а окружности, построенные как на диаметрах на диагоналях
AC
и
BD
, пересекают это основание в точках
X
и
Y
соответственно. Тогда
X
и
Y
— проекции точек
C
и
B
на сторону
AD
,
BY=CX=EF
.
Обозначим
BF=YE=a
,
CF=EX=b
,
EF=BY=CX=h
.
Из прямоугольных треугольников
CXD
и
BYA
находим, что
XD=CX\sqrt{3}=h\sqrt{3},~AY=BY=h.

По теореме о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд
AE\cdot EX=ME\cdot EN
и
DE\cdot EY=ME\cdot EN
, поэтому
(h+a)b=(h\sqrt{3}+b)a~\Leftrightarrow~hb+ab=ha\sqrt{3}+ab~\Leftrightarrow~b=a\sqrt{3}.

Следовательно,
\frac{BF}{FC}=\frac{a}{b}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Второй способ. Линия центров указанных окружностей перпендикулярна их общей хорде
MN
и параллельна основаниям трапеции, значит,
MN\perp BC
. Кроме того, прямая
MN
— радикальная ось этих окружностей (см. задачу 6391).
Пусть окружность с диаметром
AC
пересекает продолжение стороны
AB
в точке
K
, окружность с диаметром
BD
пересекает продолжение стороны
CD
в точке
L
, а прямые
AB
и
CD
пересекаются в точке
T
. Тогда из точек
K
и
L
отрезок
BC
виден под прямым углом (
\angle BKC=\angle BKD=90^{\circ}
и
\angle BLC=\angle BLD=90^{\circ}
), значит, эти точки лежат на окружности с диаметром
BC
. Поэтому
TL\cdot TC=TK\cdot TB
, или
TL\cdot\frac{1}{2}TD=TK\cdot\frac{1}{2}TA
(
BC
— средняя линия треугольника
ATD
), значит,
TL\cdot TD=TK\cdot TA
, т. е. степени точки
T
относительно окружностей с диаметрами
BD
и
AC
равны. Следовательно, точка
T
лежит на радикальной оси этих окружностей, т. е. на прямой
MN
, а
TF
— высота треугольника
BTC
. Тогда
BF=TF,~FC=TF\ctg30^{\circ}=TF\sqrt{3}.

Следовательно,
\frac{BF}{FC}=\frac{TF}{TF\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.


Примечание. Условие
AD=2BC
— лишнее.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1972, вариант 4, № 5
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 190