688. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
угол \angle A=90^{\circ}
, а угол \angle C\leqslant90^{\circ}
. Из вершин B
и D
на диагональ AC
опущены перпендикуляры BE
и DF
. Известно, что AE=CF
. Докажите, что угол C
— прямой.
Указание. Докажите, что точка C
лежит на окружности, описанной около треугольника BAD
.
Решение. Середина O
диагонали BD
— центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника BAD
. Поскольку \angle C\leqslant90^{\circ}
, то точка C
не может лежать внутри круга (см. задачу 1772). Поэтому точки E
и F
расположены на отрезке AC
.
Опустим из точки O
перпендикуляр OH
на диагональ AC
. Поскольку OB=OD
, то HE=HF
(проекции равных отрезков), поэтому H
— середина AC
и OC=OA
, т. е. точка C
лежит на окружности с диаметром BD
. Следовательно, \angle BCD=90^{\circ}
.