695. В окружность радиуса 3+\sqrt{3}
вписан правильный шестиугольник ABCDEK
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ACD
.
Ответ. \sqrt{3}
.
Указание. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a
и b
и гипотенузой c
равен \frac{a+b-c}{2}
.
Решение. Пусть R
— радиус данной окружности. Из свойств правильного шестиугольника следует, что треугольник ACD
— прямоугольный,
\angle ACD=90^{\circ},~\angle DAC=30^{\circ},~CD=R,~AD=2R,~AC=R\sqrt{3}.
Поэтому искомый радиус можно вычислить по формуле (см. задачу 217)
r=\frac{AC+CD-AD}{2}=\frac{R\sqrt{3}+R-2R}{2}=\frac{R(\sqrt{3}-1)}{2}=
=\frac{(\sqrt{3}+3)(\sqrt{3}-1)}{2}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 1973, вариант 1, № 4
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 76