699. Дана трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
. Диагонали AC
и BD
пересекаются в точке O
, а прямые AB
и CD
— в точке K
. Прямая KO
пересекает стороны BC
и AD
в точках M
и N
соответственно. \angle BAD=30^{\circ}
. Известно, что в трапеции ABMN
и NMCD
можно вписать окружности. Найдите отношение площадей треугольника BKC
и трапеции ABCD
.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{2}
.
Указание. M
и N
— середины оснований BC
и AD
.
Решение. Из замечательного свойства трапеции (см. задачу 1513) следует, что M
и N
— середины оснований BC
и AD
. Поскольку в трапеции ABMN
и MNCD
можно вписать окружности, то
BM+AN=AB+MN,~MC+DN=CD+MN.
Из этих равенств следует, что AB=CD
, т. е. трапеция ABCD
— равнобедренная. Поэтому треугольник AKD
— равнобедренный и KN
— его высота.
Обозначим KN=h
. Тогда AK=2h
, AN=h\sqrt{3}
. Поскольку отрезок MN
равен диаметру окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ANK
, то
MN=AN+NK-AK=h(\sqrt{3}-1),
KM=KN-MN=h(2-\sqrt{3}).
Треугольники BKC
и AKD
подобны с коэффициентом подобия \frac{KM}{KN}=2-\sqrt{3}
. Поэтому
\frac{S_{\triangle BKC}}{S_{\triangle AKD}}=(2-\sqrt{3})^{2}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle BKC}}{S_{ABCD}}=\frac{(2-\sqrt{3})^{2}}{1-(2-\sqrt{3})^{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1975, № 2, вариант 1