757. Точка E
лежит на продолжении стороны AC
правильного треугольника ABC
за точку C
. Точка K
— середина отрезка CE
. Прямая, проходящая через точку A
перпендикулярно AB
, и прямая, проходящая через точку E
перпендикулярно BC
, пересекаются в точке D
. Найдите углы треугольника BKD
.
Ответ. 90^{\circ}
, 60^{\circ}
, 30^{\circ}
.
Указание. Докажите, что точка K
лежит на окружности с диаметром BD
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения прямых BC
и ED
. Поскольку
\angle BAD=\angle BMD=90^{\circ},
то точки A
, D
, M
, B
лежат на окружности с диаметром BD
.
Поскольку MK
— медиана прямоугольного треугольника CME
, то (см. задачу 1109)
CK=KM,~\angle BMK=\angle CMK=\angle KCM=60^{\circ},
а так как \angle BAK=60^{\circ}
, то точка K
принадлежит окружности, проходящей через точки B
, A
и M
, т. е. окружности с диаметром BD
. Следовательно,
\angle BKD=90^{\circ},~\angle BDK=\angle BAK=60^{\circ},~\angle DBK=30^{\circ}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1976, билет 10, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 76-10-4, с. 189
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 13.31, с. 105