783. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки, лежащей на окружности, до вершин правильного вписанного в эту окружность треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности.
Указание. Если M
— точка, лежащая на меньшей дуге AB
окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC
, то CM=AM+BM
.
Решение. Пусть M
— произвольная точка меньшей дуги AB
окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC
. Обозначим
AM=x,~CM=z,~BM=y,~AB=BC=AC=a.
Воспользуемся известным равенством: CM=AM+BM
(см. задачу 17), или z=x+y
.
Поскольку \angle AMC=\angle BMC=60^{\circ}
, а \angle AMB=120^{\circ}
, то по теореме косинусов из треугольника AMB
находим, что
x^{2}+y^{2}+xy=a^{2},~\mbox{или}~x^{2}+y(x+y)=a^{2}.
Поскольку x+y=z
, то x^{2}+yz=a^{2}
.
По теореме косинусов из треугольника CMB
находим, что
z^{2}+y^{2}-zy=a^{2}.
Подставив вместо zy
в это равенство a^{2}-x^{2}
, получим:
z^{2}+y^{2}+x^{2}=2a^{2}.
Это значит, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин треугольника ABC
равна одной и той же величине 2a^{2}
.
