807. Вершины A
, B
и C
треугольника соединены с точками соответственно A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, расположенными произвольно на противоположных сторонах (но не в вершинах). Докажите, что середины отрезков AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
не лежат на одной прямой.
Указание. Воспользуйтесь следующим утверждением: если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.
Решение. Воспользуемся следующим утверждением (см. задачу 806): если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон. (См. А.В.Погорелов, Геометрия 7-11, 5-е издание, стр.17.)
Пусть точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, отличные от вершин треугольника ABC
, лежат на его сторонах BC
, AC
и AB
соответственно, точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— середины сторон соответственно BC
, AC
и AB
, точки A_{3}
, B_{3}
и C_{3}
— середины отрезков соответственно AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
(рис. 1). Тогда точки A_{3}
, B_{3}
и C_{3}
лежат внутри средних линий B_{2}C_{2}
, A_{2}C_{2}
и A_{2}B_{2}
соответственно.
Прямая A_{3}B_{3}
пересекает в точке A_{3}
сторону B_{2}C_{2}
треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
, пересекает его сторону A_{2}C_{2}
в точке B_{3}
и не проходит ни через одну вершину треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
. Следовательно, эта прямая не может проходить через точку C_{3}
, лежащую на стороне A_{2}B_{2}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1945, VIII, 2-й тур, 7-8 классы
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — , № 13, с. 28
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1953, билет 7, № 3
Источник: Задачи по математике и физике, дававшиеся на приёмных испытаниях в 1947—1953 гг. — М.: МФТИ, 1956. — № 3, с. 8
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 53-7-3, с. 42
Источник: Турнир городов. — 1993-1994, XV, осенний тур, младшие классы, тренировочный вариант