817. На сторонах AB
, BC
и CA
треугольника ABC
построены во внешнюю сторону прямоугольники ABB_{1}A_{1}
, BCC_{1}B_{2}
и CAA_{2}C_{2}
. Докажите, что перпендикуляры к отрезкам A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
, восставленные в их серединах, пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть серединные перпендикуляры к отрезкам A_{1}A_{2}
и B_{1}B_{2}
пересекаются в точке P
. Достаточно доказать, что точка P
равноудалена от точек C_{1}
и C_{2}
.
Воспользуемся следующим утверждением. Сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других его вершин (см. задачу 2169).
Применяя это утверждение к прямоугольникам ABB_{1}A_{1}
, BCC_{1}B_{2}
и CAA_{2}C_{2}
получим равенства
PA^{2}+PB_{1}^{2}=PB^{2}+PA_{1}^{2},~PB^{2}+PC_{1}^{2}=PC^{2}+PB_{2}^{2},~PC^{2}+PA_{2}^{2}=PA^{2}+PC_{2}^{2}.
Сложив их почленно, получим, что
PB_{1}^{2}+PC_{1}^{2}+PA_{2}^{2}=PA_{1}^{2}+PB_{2}^{2}+PC_{2}^{2},
а так как PA_{1}=PA_{2}
и PB_{1}=PB_{2}
, то PC_{1}=PC_{2}
. Что и требовалось доказать.