2169. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других вершин прямоугольника.
Указание. Обозначьте через
x
,
y
,
z
и
t
расстояния от произвольной точки плоскости до прямых, содержащих стороны прямоугольника, и примените теорему Пифагора (или воспользуйтесь методом координат).
Решение. Первый способ. Пусть
M
— произвольная точка плоскости,
ABCD
— прямоугольник. Обозначим через
x
,
y
,
z
и
t
— расстояния от точки
M
до прямых
AB
,
BC
,
CD
и
AD
соответственно. Тогда
MA^{2}+MC^{2}=(x^{2}+t^{2})+(y^{2}+z^{2})=

=(x^{2}+y^{2})+(t^{2}+z^{2})=MB^{2}+MD^{2}.

Второй способ. Введём декартову прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину
A
прямоугольника
ABCD
, а оси координат направим по лучам
AB
и
AD
. Пусть
AB=a
,
AD=b
. Тогда вершины прямоугольника будут иметь следующие координаты:
A(0;0),~B(a;0),~C(a;b),~D(0;b).

Пусть
M(x;y)
— произвольная точка плоскости. По формуле для квадрата расстояние между двумя точками
MA^{2}+MC^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left((x-a)^{2}+(y-b)^{2}\right),

MB^{2}+MD^{2}=\left((x-a)^{2}+y^{2}\right)+\left(x^{2}+(y-b)^{2}\right).

Из полученных равенств следует, что
MA^{2}+MC^{2}=MB^{2}+MD^{2}.

Третий способ. Пусть
O
— точка пересечения диагоналей прямоугольника
ABCD
,
M
— произвольная точка плоскости. По формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014)
4MO^{2}=2MA^{2}+2MC^{2}-AC^{2}~\mbox{и}~4MO^{2}=2MB^{2}+2MD^{2}-BD^{2},

откуда, учитывая равенство
AC=BD
, получаем, что
0=2(MA^{2}-MB^{2})+2(MC^{2}-MD^{2}).

Следовательно,
MA^{2}+MC^{2}=MB^{2}+MD^{2}.

Четвёртый способ. Пусть
O
— центр прямоугольника
ABCD
,
M
— произвольная точка плоскости. Тогда
MA^{2}+MC^{2}=MB^{2}+MD^{2}~\Leftrightarrow~

\Leftrightarrow~(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM})^{2}+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM})^{2}=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM})^{2}+(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OM})^{2}\Leftrightarrow~

\Leftrightarrow~2OA^{2}+2OM^{2}-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM}-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM}=2OB^{2}+2OM^{2}-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OM}-2\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OM}\Leftrightarrow~

\Leftrightarrow~-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM}-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM}=-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OM}-2\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OM}\Leftrightarrow~

\Leftrightarrow~\overrightarrow{OM}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{OM}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})=0\Leftrightarrow~\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{0}\Leftrightarrow~0=0.

Примечание. Доказанная формула верна и для пространства.